Champ gravitationnel, potentiel et énergie potentielle d'une boule homogène

Soit un nuage interstellaire homogène sphérique de rayon R et de masse totale M.

Nous cherchons à exprimer le champ gravitationnel et le potentiel V(r) à l'intérieur et à l'extérieur de ce nuage.

Nous utiliserons l'analogie entre le champ électrostatique et le champ de gravitation pour utiliser les résultats de l' Électrostatique.

1. Analogies entre le champ électrostatique et le champ de gravitation :

On notera la correspondance:

puis entre la permittivité diélectrique du vide et la constante de la Gravitation Universelle:

 2. La relation de Maxwell et le théorème de Gauss pour le champ de gravitation:

La relation de Maxwell:

et le théorème de Gauss:

En résumé:

3. Champ gravitationnel et potentiel à l'extérieur de la boule (M_int = M):

Théorème de Gauss:

le champ est le même que si toute la masse M de la boule était confinée en son centre

Ce champ dérive du potentiel V(r) tel que

La constante d'intégration est égale à zéro si on choisit une valeur nulle à l'infini pour le potentiel.

4. Champ gravitationnel et potentiel à l'intérieur de la boule (M_int = 4/3   r³⁾:

Cherchons un potentiel gravitationnel V(r) tel que g(r) = - dV/dr:

Pour exprimer la constante K, écrivons que le potentiel à la surface de la boule a la même valeur dans les 2 formules (continuité du potentiel)

Remplaçons cette valeur dans l'expression du potentiel:

 Pour la norme du champ gravitationnel et la valeur absolue du potentiel, on notera:

- de 0 à R, la croissance linéaire de g(r), la décroissance parabolique de V(r).

- de R à l'infini: la décroissance  coulombienne de g(r) et la décroissance hyperbolique de V(r).

 5. Énergie potentielle gravitationnelle Ep de la boule:

Écrivons que

Comme le potentiel a la symétrie centrale [V(r) seulemant], prenons comme élément de volume

où l'on reconnait, au dessus de l'accolade, la masse totale M :