La 3^ème loi de Kepler et le mouvement circulaire uniforme

Rappelons cette loi: Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi grand axe de la trajectoire et le carré de la période de révolution est le même.

 Nous considérons des astres (planètes, satellites naturels, étoiles...) ou des satellites artificiels qui tournent autour d'un autre astre (le même) avec un mouvement circulaire et uniforme. Dans le cas de figure suivant, S est le Soleil et P une planète.

Le cube du demi grand axe est bien proportionnel au carré de la période de révolution. Ceci lorsque l'astre situé au centre du cercle est le même puisqu'il y a le terme M dans la constante. On note que le résultat est indépendant de la masse de la planète, ainsi, si la planète Jupiter (380 fois plus massive que la Terre) tournait à la place de la Terre, elle aurait une période de révolution de 1 année.

Note 1: Calculons la vitesse et la période de révolution d'un satellite en orbite basse, disons h = 600 km d'altitude. Données: le rayon de la Terre R_T = 6400 km, masse de la Terre M = 5,97.10²⁴ kg, constante de la gravitation G = 6,67.10^-11 N.m².kg^-2. De la relation (5) et en remarquant qu'ici   R = R_T + h,  on déduit la vitesse (une erreur fréquente est d'oublier la conversion des km en m et de ne pas prendre la racine carrée...)

Calculons maintenant la période de révolution T:

Note 2: Cas des satellites géostationnaires. Pour qu'un satellite soit fixe par rapport à la Terre, son orbite doit être circulaire et dans le plan équatorial de la Terre et il faut que sa période de révolution autour de notre planète soit égale à la période de rotation sidérale de la Terre soit T = 23 h 56 min 4 s. Calculons à quelle altitude il faut le placer en utilisant la relation (7):

Or h = R -R_T ==> h = 42200 - 6400 ==> h = 35 800 km (la Lune est10 fois plus loin et elle tourne en environ 1 mois).

Note 3: Cas des planètes extra-solaires ou exoplanètes: prenons comme exemple cette planète étrange découverte en 1999. Elle tourne en 3,5 jours autour d'une étoile de la constellation de Pégase. Cette étoile et la planète sont situées à 150 années-lumière du Soleil. Elle fait partie des 102 planètes extra-solaires connues à ce jour. Sa particularité est qu'elle est entourée d'une atmosphère découverte récemment, pas de l'air, mais un gaz constitué principalement de vapeur de sodium, métal qui fond à 98 °C. Cette atmosphère a été découverte grâce à un phénomène d'éclipse partielle.

Lors du passage de la planète devant l'étoile, la brillance de celle-ci chute progressivement jusqu'à un minimum puis  augmente progressivement jusqu'à un maximum: cela permet de mesurer le diamètre de la planète et de détecter une éventuelle atmosphère.

Evaluons la distance de cette planète à son étoile en utilisant la troisième loi de Kepler et en considérant que l'étoile a la même masse que le Soleil. Pour celà nous disposons du cas de Mercure   (on aurait pu prendre la Terre) qui est à 57 millions de km du Soleil et qui accomplit une révolution en 88 jours.Le symbole du jour est j ou d (day).

 On notera que sous cette forme, on peut utiliser n'importe quelle unité pourvu qu'elle soit un multiple ou un sous-multiple d'une unité internationale.

Pour donner un exemple, le Soleil a un diamètre de 1 400 000 km. La planète est donc toute proche de la surface de son étoile et sa température est très élevée (environ 1200 °C). Les astronomes espèrent trouver dans l'atmosphère de cette planète des gaz tels le méthane, composé organique, mais il, faut savoir que les liaisons chimiques dans ces molécules organiques sont très fragiles et résistent mal à des températures élevées.